Derivada de funciones trigonométricas

Es el proceso matemático que nos permite encontrar el ritmo al cual una función trigonométrica cambia respecto de la variable independiente,estas funciones nos permiten resolver ejercicios complejos las habituales son :

• Teorema 1.    La derivada de la función Coseno

           Demostración:

1. f(x) = cos(x),  función coseno.

2. f_x(x) = lím_h→0 [cos(x+h)-cos(x)]/h, porque la derivada se define

f_x(x) = lím_h→0 [f(x+h)-f(x)]/h

3. f_x(x) = lím_h→0 [ cos(x)· cos(h) - sen(h)·sen(x) - cos(x) ] / h

desarrollando el coseno de la suma, considerando la identidad 

cos(a+b)=cos(a)·cos(b)-sen(b)·sen(a)

4. f_x(x) = lím_h→0 {cos(x)·[cos(h)-1]- sen(h) · sen(x) } / h, agrupando términos semejantes.

5. f_x(x) = lím_h→0 {cos(x)·[cos(h)-1] / h-sen (h)·sen(x) / h}, que es equivalente a la anterior.

6. f_x(x) = lím_h→0 cos(x)·[cos(h)-1]/h-lím_h→0 sen(h)·sen(x)/h, se sabe que el límite de la suma es igual a la suma de límites.

7. f_x(x)= lím_h→0 cos(x)·lím_h→0 [cos(h)-1]/h+-lím_h→0 sen(h)/h·lím_h→0 sen(x),

  el límite del producto es igual al producto de límites.

8. f_x(x) = lím_h→0 cos(x)·0-1·lím_h→0 sen(x),

porque         lím_h→0 [cos(h)-1]/h=0 y lím_h→0 sen(h)/h=1. 

Posteriormente se demostrará que los límites son correctos.

9. f_x(x) = -lím_h→0 sen(x), de acuerdo con lo anterior. Finalmente,

10. f_x(x) = -sen(x), porque el límite de una constante

Nota: El sen(x) no depende de h y es constante para dicha variable) es igual a la constante

la misma. 

• Ejercicio práctico:

la función de costos de una empresa encargada de elaborar joyas reconocidas a nivel nacional por la alta calidad en sus diseños es C(x) = Cos (-15 x² + 9 x + 9) ,donde x representa el numero total de unidades producidas.El precio unitario de venta es   
 P(x)  = (1+Cos x²)^1/2  calcule la función de ingreso marginal y la función de beneficio marginal para un nivel de producción de x =1000 unidades

• Video explicativo:

a continuación te explicaremos como desarrollar el problema en base a la función trigonométrica .